Lineare Optimierung

Geschichte und Hintergrund
Vorwort
Geschichte

Leichte Beispielaufgabe
Aufgabe
Lösungsansatz
Graphische Lösung

Schwere Beispielaufgabe
Aufgabe
Lösungsansatz
Graphische Lösung

Geschichte und Hintergrund

Vorwort

Diese Seite ist nicht für "normale" Mathematik- interessierte Besucher gedacht, sondern für diejenigen, die ein wenig an der Geschichte der Mathematik interessiert sind. Um die Beispielaufgaben der nächsten beiden Seiten zu verstehen, müssen sie diese Seite ebenfalls nicht gelesen haben, da die verschiedenen Methoden hier nur erwähnt und nicht erläutert werden, da dies etwas größere mathematische Kenntnisse erfordert. Wer dennoch etwas über diese Methoden erfahren möchte, sollte sich mal zu unserer Linksammlung begeben.

Geschichte

Die lineare Optimierung gehört zu den jüngeren Anwendungsgebieten der Mathematik. Vor einem halben Jahrhundert begann der richtige Durchbruch der linearen Optimierung mit der Simplexmethode, die von G. B. Dantzig entwickelt wurde. Die ersten Arbeiten der linearen Optimierung wurden im Jahre 1939 von dem russischen Mathematiker Leonid W. Kantorowicz in diesem Gebiet veröffentlicht. In der Einleitung seines Buches "Mathematische Methoden in der Organisation und Planung der Produktion" schreibt er: "Es gibt zwei Wege die Rentabilität der Arbeit eines Geschäftes oder eines ganzen Industriezweiges zu vergrößern. 
Ein Weg besteht in verschiedenen Verbesserungen der Technik, z. B. neuem Zubehör für die einzelnen Maschinen, Änderungen der technischen Prozesse und der Entdeckung neuerer, besserer Arten von Rohmaterial. Der andere Weg, der bisher viel weniger benutzt wurde, besteht in der Verbesserung der Organisation, der Planung und Produktion. Das schließt Fragen ein wie die Arbeitsteilung zwischen den einzelnen Maschinen des Unternehmers oder zwischen Mechanismen, Auftragserteilung zwischen den Unternehmern, die richtige Verteilung zwischen Rohstoffen und Brennstoffen und andere Faktoren."
Besonders in den USA wurden am Ende des zweiten Weltkriegs neue Lösungsmöglichkeiten für Probleme der mathematischen Optimierung, die für den militärischen Bereich von Bedeutung waren, entwickelt.
 Die Simplexmethode, mit der alle linearen Optimierungsprobleme gelöst werden können, ist bis heute das wichtigste Verfahren zur Lösung Probleme dieser Art. J. von Neumann und O. Morgenstern gelang es schon kurz nach Dantzig diese Methode beträchtlich weiterzuentwickeln.
 Seit dem Beginn der 50er Jahre erlebte dieser Bereich der Mathematik erneut eine rapide Aufwärts- entwicklung. Dieser große Aufschwung wirkte sich  
 besonders günstig auf Großrechenanlagen aus, die Berechnungen nach dem Simplexverfahren in einer kurzen Zeit bewältigen konnten. Schon im Jahre 1956 konnten mit einer IBM-Maschine Probleme der linearen Optimierung mit mehr als 200 Gleichungen mit großer Genauigkeit gelöst werden. Die erste wichtige Anwendung auf wirtschaftliche Probleme erfolgte bei der Planung und Entwicklung von Erdölraffinerien. 
Im Jahre 1979 entwickelte der Russe Khashian einen neuen Algorithmus, mit dem bei linearen Optimierungsproblemen mit einer großen Anzahl von Variablen und einschränkenden Bedingungen die optimale Lösung schneller bestimmt werden konnte. Der wesentliche Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, dass der Rechenaufwand geringerer ist als beim Simplexverfahren. 
Heute gehört die lineare Optimierung zu den best erforschten Gebieten der Wirtschaftsmathematik. 

"Zeltekauf"